高斯整环中的素元,在高斯整环中求理想(1+i)

1、高斯整环中的素元

高斯整环

高斯整环是复数 z = a + bi 构成的环，其中 a 和 b 是整数，i 是虚数单位。它通常用符号 Z[i] 表示。

素元

在环论中，素元定义为一个非零元素 p，使得对于任何元素 a 和 b，如果 p | ab，则 p | a 或 p | b。

高斯整环中的素元

高斯整环中的素元具有以下形式：

复素素数：像 2、3 和 5 这样的复素数，它们在 Z 中也是素数。

高斯素数：形式为 a + bi 的复数，其中 a 和 b 是正整数，且 a 和 b 互质。换句话说，a + bi 是一个质数，当它被分解为 (a + bi)(c + di) 时，a/c 和 b/d 均为整数。

高斯素数的例子

3 + 4i

1 + 2i

1 + 3i

高斯素数的分布

高斯素数的分布与普通素数的分布有很大不同。高斯素数不存在孪生素数，并且它们的密度随实部和虚部的增加而迅速下降。

结论

高斯整环中的素元具有独特的形式和分布。它们在数论和密码学等领域有着广泛的应用。

2、在高斯整环中求理想(1+i)

[引理] 在高斯整环中，对于任何高斯整数 a + bi，都有

(a + bi) = (a, b)

其中 (a, b) 是 a 和 b 的最大公约数。

[证明]

因子定理：设 c + di 是 a + bi 的一个因子，则 a + bi = (c + di)(e + fi)。展开后，得到

a + bi = ce + cfi + dei + difi

两边分别取实部和虚部，得到

a = ce + dif

b = cfi + dei

于是，a 和 b 都同时被 c 和 d 整除，因此 (a, b) | c 和 (a, b) | d。

最大公约数：设 (a, b) = g，则 g 同时整除 a 和 b。根据因子定理，任何因子 c + di 都满足 c | g 和 d | g。因此，g 是 a + bi 的所有因子的最大公约数。

[求解]

根据引理，(1 + i) 的理想是

```

(1 + i) = ((1, 1)) = <1 + i>

```

因此，在高斯整环中，理想 (1 + i) 等于由高斯整数 1 + i 生成的主理想。

3、高斯整环的素理想与极大理想

4、高斯整环是欧几里得环证明

证明：

要证明高斯整环 \( \mathbb{Z}[i] \) 是欧几里得环，我们需要找到一个欧几里得函数，即一个从 \( \mathbb{Z}[i] \) 到正整数的函数，使得对于任意 \( a, b \in \mathbb{Z}[i] \) 满足 \( b \neq 0 \)，存在 \( q, r \in \mathbb{Z}[i] \) 使得 \( a = bq + r \) 且 \( r=0 \) 或 \( \deg r < \deg b \)。

令 \( f(a+bi) = a^2 + b^2 \)。

1. 非负性： 对于任意 \( a+bi \in \mathbb{Z}[i] \)，\( f(a+bi) = a^2 + b^2 \ge 0 \)。

2. 可除性： 对于任意 \( a+bi, c+di \in \mathbb{Z}[i] \)，其中 \( c+di \neq 0 \)，存在 \( q, r \in \mathbb{Z}[i] \) 使得

$$a+bi = (c+di)(q+ri) + (raqbri)$$

展开并整理得

$$r = a+bi (c+di)(q+ri)$$

令 \( q+ri = x+yi \)：

$$r = a+bcxdy + dxcyi bix$$

由于 \( r \in \mathbb{Z}[i] \)，所以 \( cx+dy, dxcy \in \mathbb{Z} \) 且 \( bix \in \mathbb{Z}[i] \)。因此，

$$f(r) = (acxdy)^2 + (bdx+cy)^2 + b^2x^2$$

将 \( q+ri = x+yi \) 代入可得

$$f(r) = a^2 + b^2 2a(cx+dy) + (cx+dy)^2 2b(dxcy) + (dxcy)^2 + b^2x^2$$

展开并整理得

$$f(r) = a^2 + b^2 2a(cx+dy) + c^2x^2 + d^2y^2 2b(dxcy) + d^2x^2 + c^2y^2 + b^2x^2$$

$$f(r) = a^2 + b^2 2acxy 2bdxy + c^2x^2 + d^2y^2$$

$$f(r) = (acxdy)^2 + (bdx+cy)^2$$

由于 \( (acxdy)^2 \ge 0 \) 和 \( (bdx+cy)^2 \ge 0 \)，所以

$$f(r) \le a^2 + b^2 = f(a+bi)$$

因此，对于任意 \( b \neq 0 \)，均可找到 \( q, r \) 使得 \( a = bq + r \) 且 \( f(r) < f(b) \)。

因此，\( f(a+bi) \) 是 \( \mathbb{Z}[i] \) 上的欧几里得函数，使得高斯整环 \( \mathbb{Z}[i] \) 成为欧几里得环。